Així li diuen a aquest nou any, 2010, doble i meitat. En aquest any es compleix que els dos últims dígits, 10, són la meitat dels dos primers, 20.

 

Els alumnes de primer de batxillerat han volgut reflexionar una mica sobre aquesta coincidència i ens hem plantejat una sèrie de preguntes que intentarem respondre. Preguntes com:

 

Quin va ser el primer any “doble i meitat”?

Quants anys “doble i meitat” hem tingut?

Quants anys “doble i meitat” ens queden?

 

2010 no és el primer any “doble i meitat”. Si busquem un any anterior en què va donar-se la mateixa situació ens remuntem a l’any 1809. El proper any “doble i meitat” serà l’any 2211. Si restem 2010 de 2211, o 1809 de 2010, veurem que cada 201 anys tenim un any “doble i meitat”.

 

Si recordem la fórmula de la progressió aritmètica, a_n = a₁ + ( n – 1 ) · d, tindríem que el primer terme de la progressió d’anys “doble i meitat”, a₁, seria igual a 201 i la diferència, d, també seria igual a 201.

 

Per tant, hem tingut els anys “doble i meitat” següents:

 

a₁  = 201

a₂  = 201 + ( 2 – 1 ) · 201 =   402

a₃  = 201 + ( 3 – 1 ) · 201 =   603

a₄  = 201 + ( 4 – 1 ) · 201 =   804

a₅  = 201 + ( 5 – 1 ) · 201 = 1005

a₆  = 201 + ( 6 – 1 ) · 201 = 1206

a₇  = 201 + ( 7 – 1 ) · 201 = 1407

a₈  = 201 + ( 8 – 1 ) · 201 = 1608

a₉  = 201 + ( 9 – 1 ) · 201 = 1809

a₁₀ = 201 + ( 10 – 1 ) · 201 = 2010

 

és a dir, la nostra progressió ens torna ni més ni menys que els múltiples de 201.

 

Ja hem contestat a dues de les tres preguntes que ens plantejàvem. Ens queda la tercera: aquesta progressió, és infinita o existeix un darrer any “doble i meitat”?

 

La progressió no podrà fer més que acabar amb el nombre que tingui els dos darrers dígits iguals a 99, és a dir, a₉₉. Per tant, aplicant la fórmula, el darrer any “doble i meitat” serà, doncs, a₉₉ = 201 + ( 99 – 1 ) · 201 = 19899.

 

I algú pensarà... i quina utilitat té tot plegat? Cap ni una, però les matemàtiques no sempre són serioses i mai són avorrides.

 

A classe, arrel de comentar el que us acabem d’explicar, també vam parlar dels anys de traspàs i del perquè d’aquests anys. Voleu saber una mica d’història al voltant dels anys de traspàs?

 

Resulta que la Terra triga 365,2422168... dies en fer el seu moviment complet de rotació al voltant del Sol, encara que es considera a efectes de l’any civil que en triga 365 dies.

Per a compensar l’error, que en 4 anys suposa 0,9688671... dies, en Juli Cèsar va disposar que cada 4 anys s’augmentés la durada de l’any en 1 dia i d’aquesta manera van aparèixer els anys de traspàs i el calendari julià.

Però no es va resoldre del tot el problema ja que l’error és de 0,9688671... dies i no d’1 dia.

El Papa Gregori XIII en l’any 1582 va disposar suprimir 3 dies cada 400 anys, deixant de ser anys de traspàs els anys que acaben en 2 zeros i el nombre de les seves centenes no sigui divisible per 4. Per a compensar els errors fets fins aquell moment, es va passar el dia 4 d’octubre de 1582 al 15 del mateix mes. I aquest és el calendari gregorià que seguim en l’actualitat.

 

Esperem que us hagin agradat aquestes curiositats numèriques relacionades amb el calendari que fem servir per a comptabilitzar el pas del temps.

 

Alumnes de Matemàtiques de BAT1A.